Generalized Least Squares.

• Los modelos de mínimos cuadrados generalizados (Generalized least squares, GLS) son generalizaciones los mínimos cuadrados ordinarios que tienen en cuenta la correlación entre los errores.

• Los métodos disponibles (paquete nlme) requieren variables respuesta de distribución normal.

• Sin embargo, ver lme4ord (experimental!). También puede usarse MASS::glmmPQL, pero es poco confiable y usa quasi verosimilitud penalizada.

¿Qué caracteriza a la autocorrelación temporal?

• Las correlaciones temporales tienen una dimensión y una sola dirección (efectos del pasado en el presente).
  
• Se espera que a medida de que pasa el tiempo los efectos de la autocorrelación se vuelvan menores.

Detectar autocorrelación temporal: lags.

Función de autocorrelación (ACF)

1. La estructura de correlación de simetría compuesta

\[cor(\epsilon) = \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho & ... & \rho \\ \rho & 1 & \rho & ... & \rho \\ \rho & \rho & 1 & ... & \rho \\ ... & ... & ... & 1 & \rho \\ \rho & \rho & ... & \rho & 1 \end{bmatrix}\]

La estructura de correlación de simetría compuesta

Asume que, independientemente de la distancia (lag) entre dos residuos, la correlación es la misma.

Es a menudo demasiado sencilla para series de tiempo, pero puede ser útil, especialmente si la serie es corta.

2. La estructura de correlación AR-1

\[cor(\epsilon) = \begin{bmatrix} 1 & \rho & \rho^2 & ... & \rho^n \\ \rho & 1 & \rho & ... & ... \\ \rho^2 & \rho & 1 & ... & ... \\ ... & ... & ... & 1 & \rho \\ \rho^n & ... & ... & \rho & 1 \end{bmatrix}\]

2. La estructura de correlación AR-1

• Asume que la correlación decae con el tiempo.
  
• A pesar de ser sencilla suele ser muy realista.

3. La estructura ARMA: auto-regressive moving average

• La parte AR involucra la regresión de la variable en sus propios valores del pasado (con cierto lag).
  
• La parte ME modela el error como producto de varios términos aleatorios que ocurren en el presente y en el pasado (hasta cierto punto del pasado).
  
• AR-1 es un proceso autorregresivo con 1 parámetro \(\rho\). En ARMA puede existir más de un parámetro (definido por p).
  
• En MA, el término q define que observaciones separadas por más de q unidades no están correlacionadas ya que no comparten parámetros.

• Las correlaciones espaciales tienen al menos dos dimensiones y más de una dirección.
  
• Las direcciones pueden ser relevantes para la autocorrelación (anisotropia) o por el contrario ser irrelevantes (isotropia).
  
• Se espera que a mayor distancia los efectos de la autocorrelación se vuelvan menores.
  
• Las herramientas para detectar autocorrelación espacial son variadas.

Detectar autocorrelación espacial: Bubble plots.

Detectar autocorrelación espacial: Variograma.

• La semivarianza es una medida del grado de diferencia entre dos puntos.
  
• Si los datos se encuentran espacialmente autocorrelacionados, aquellos más cercanos en el espacio deberían presentar respuestas semejantes, residuos semejantes y por lo tanto bajos valores de semivarianza.
  
• Los variogramas asumen isotropía, es decir la que dirección no es tenida en cuenta.

Detectar autocorrelación espacial: Variograma.

* de Zuur et al. 2009

• sill punto hasta el cual se incrementa la semivarianza.
  
• range rango de distancias a las cuales las observaciones se encuentran autocorrelacionadas.
• nugget Valor de la semivarianza cuando la distancia entre los puntos es igual a cero. Típicamente resulta de variabilidad inesperada, no relacionada a la estructura espacial.

Estructuras de correlación espacial.

Estructuras de correlación espacial.

1. Fixed variance structure

• Permite un incremento en la variabilidad de los errores asociada a una variable independiente continua.
  
• Atención! no confundir con la variabilidad asociada a una respuesta no normal.
  
• varPower y varExp son variaciones de esta misma idea.

2. VarIdent structure

• Permite diferencias en la variabilidad de los errores asociada a los niveles de un factor.